孪生素数猜想

层级：① 上界问题为开放问题（有界间隙已证）· 来源：de Polignac (1849) / Brun (1919) / Zhang (2013) / Maynard–Polymath8b (2014–15)

一句话版本

相差 2 的素数对（3 与 5、11 与 13、……）有没有无穷多对？ 无人知道。但可以证明：靠得很近的素数对一定有无穷多。

已知什么

结果	内容	谁
Brun 定理 (1919)	所有孪生素数对的倒数和收敛（≈1.9022）——孪生素数比素数稀得多	Brun
Zhang (2013)	存在无穷多对间距小于 \(7\times10^7\) 的素数	张益唐
Maynard–Polymath8b (2014–15)	间距上界压到 246（当前最优）	Maynard / Polymath

Brun 定理的推论很有画面感：即使孪生素数无穷多，\(\sum 1/p\) 也是有限的——而全体素数的倒数和发散。孪生素数在素数里是"稀有品种"。

精确预言（猜想，未证）

Hardy–Littlewood (1923) 预言孪生素数对的计数函数：

\[\pi_2(x) \approx 2C_2 \int_2^x \frac{dt}{\ln^2 t}, \qquad C_2 \approx 0.66016\]

\(C_2\) 就是孪生素数常数。实测 \(\pi_2(10^6) = 8{,}169\) 对。

自己验证

# 验证 10^6 以内孪生素数对数 = 8169
def primes_upto(n):
    sieve = bytearray([1]) * (n + 1)
    sieve[0:2] = b"\x00\x00"
    for p in range(2, int(n**0.5) + 1):
        if sieve[p]:
            sieve[p*p::p] = bytearray(len(sieve[p*p::p]))
    return sieve

S = primes_upto(1_000_000)
pairs = sum(1 for p in range(2, 1_000_000 - 2) if S[p] and S[p + 2])
assert pairs == 8169, pairs
print(f"pi_2(10^6) = {pairs} 对")

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发布：2026-10-23 07:39:14 · 数论库